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Ecuaciones: Problemas de aplicación
Debemos seguir los siguientes pasos:
- Leer detenidamente comprendiendo el enunciado.
- Extraer los datos.
- Ubicar la incógnita y representarla.
- Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica. De ser posible, debemos relacionar la información con la realidad y a partir de allí plantear la ecuación.
- Resolver la ecuación.
- Dar respuesta a la incógnita
Ejercicio 1
Un número aumentado en 3 unidades es igual al doble de dicho número. Luego, el número aumentado en 6 unidades será:
Solución
Ejercicio 2
El triple de la cuarta parte de un número es 18. ¿Cuál es este número?
Solución
Ejercicio 3
La mitad más el tercio más la cuarta parte de los años que tiene Manuel, suman los años que tiene más 3. ¿Qué edad tiene Manuel?
Solución
Ejercicios 4
La suma de tres números consecutivos es 54. ¿Cuales son estos números?
Solución
Ejercicio 5
La base de un rectángulo es cuatro veces su altura. Halla el área del rectángulo si su perímetro es 60cm.
Solución
Ejercicio 6
Un padre tiene 40 años y su hijo 12. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era 5 veces la de su hijo?
Solución
Ejercicio 7
Si Manolito diese 10 soles a Karina, ella tendría el doble de lo que le quedaría a Manolito, si juntos tienen 120 soles. ¿Cuánto tenía Karina?
Solución
Áreas de cuerpos geométricos : Prismas
Recuerda las fórmulas de las figuras planas
¿Que son las primas?
Se le conoce como desarrollo plano de un prisma a la figura o construcción plana que se obtiene si el prisma de "desdobla".
La altura de un prisma es la distancia que existe entre las bases.
Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.
En un prisma, las bases son congruentes, es decir son polígonos con el mismo número de lados y las mismas medidas.
Área de las primas
El área de un prisma o de cualquier poliedro, es la suma de las áreas de cada una de sus caras. Podemos distinguir:
Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En el prisma las caras laterales son rectángulos.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases. Las bases son dos polígonos iguales.
Como vemos, este prisma hexagonal tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son hexágonos.
El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos).
Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del hexágono de la base.
Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura:
Área lateral = perímetro de la base x altura
El área total es la suma del área lateral más el área de las 2 bases:Área total = Área lateral + Área de la base x 2
FRACCIONARIOS: Fracciones propias, Fracciones impropias, simplificación de fracciones
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Cuando se divide una unidad, (una casa, un carro, un lápiz, entre otras), en cierto número de partes iguales, cada una de dichas partes se llama unidad fraccionaria, y el número formado por una o varias unidades fraccionarias, se llama número fraccionario o quebrado.
Ejemplo
Si tenemos una torta, y la partimos en dos pedazos o fracciones iguales, cada parte es la mitad, o sea un medio y se simboliza ½
NUMERADOR Y DENOMINADOR
Para expresar los números fraccionarios, se necesitan dos números llamados numerador y denominador. El número que expresa en cuántas partes iguales está dividida la unidad y se escribe debajo de la raya horizontal, es el denominador; y el número que indica o numera las partes que se toman es el numerador y se escribe encima de la raya horizontal.
Ejemplo
Escribir en forma de fraccionario:
1) Cinco octavos
R/ 5
8
2) Tres séptimos
R/ 3
7
ESCRITURA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Para escribir números fraccionarios, se coloca el numerador encima de una raya horizontal y el denominador debajo.
LECTURA DE UN NÚMERO FRACCIONARIO
En un número fraccionario se lee primero el numerador y luego el denominador. Para leer el denominador hay que tener en cuenta que hasta diez los denominadores se leen de forma especial y que de 11 en adelante se lee el número y se agrega la terminación avos.
Si una unidad o una cosa la dividimos en 2, 3, 4, 5, etc. pedazos o fracciones iguales, cada parte es un medio, un tercio, un cuarto, un quinto, un sexto, un séptimo, un octavo, un noveno, un décimo, un onceavo, un doceavo, etc.
Ejemplo
2 Número de partes tomadas
3 Partes guales de la unidad
Se lee: Dos tercios
Ejercicio
En la siguiente figura, escribir el número fraccionario que corresponda a la parte sombreada.
1)
CLASES DE FRACCIONES
FRACCIONES PROPIAS
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, son menores que la unidad.
Ejemplo
2 Es una fracción propia
8
FRACCIONES IMPROPIAS
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es igual o mayor que el denominador, es decir, son iguales o mayores que la unidad.
Ejemplo
4 Es una fracción impropia
3
NÚMEROS MIXTOS
Los números mixtos son los formados por unidades enteras y unidades fraccionarias.
Escritura y lectura de los números mixtos.
Los números mixtos se escriben poniendo primero el entero, y a continuación el fraccionario; y se leen enunciando el entero seguido del nombre de la unidad principal, y luego el fraccionario.
Ejemplo
Dos metros y un medio.
Transformación de fracciones impropias en números mixtos
Para transformar fracciones impropias en números mixtos se divide el numerador entre el denominador y el número mixto queda formado por el cociente como la parte entera y una fracción cuyo numerador es el residuo y cuyo denominador es el mismo de la fracción dada.
Ejemplo
Transformar 7/4 a número mixto.
Transformación de números mixtos en fracciones impropias
Para transformar un número mixto en fracción impropia, se multiplica el entero por el denominador dado, al producto se le suma el numerador, y se pone por denominador de la fracción dada.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad o el mismo número.
Veamos un ejemplo.
Decir si las siguientes fracciones son equivalentes.
Para verificar si dos fracciones son equivalentes basta ubicar una fracción al lado derecho de la otra y chequear, que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda sea igual al producto del denominador de la primera por el denominador de la segunda.
Veamos un ejemplo.
Decir si las siguientes fracciones son equivalentes.
Vemos que ambos productos son iguales, por lo tanto podemos concluir que son equivalentes.
AMPLIFICACION DE FRACCIONES
La amplificación de fracciones, es un procedimiento que consiste, en obtener fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número.
Veamos un ejemplo. Dada la fracción 2/5 . Obtener una fracción equivalente por amplificación.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
La simplificación de fracciones, es un procedimiento que consiste en obtener fracciones equivalentes dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número.
Veamos un ejemplo. Dada la fracción 10/6. Obtener una fracción equivalente por simplificación.
FRACCIÓN IRREDUCIBLE
Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar.
Acordaremos en escribir los números fraccionarios por medio de la fracción irreducible.
Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada basta dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números.
Veamos un ejemplo. Dada la fracción 70/100. Simplificarla hasta obtener la fracción irreducible.
Existe otro método que consiste en dividir el numerador y el denominador por el menor de los divisores primos que los divida a ambos exactamente, y así se continúa con los cocientes que van resultando, hasta que no haya divisores primos que los dividan a los dos.
MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR
Convendremos en decir, cuando dos o más números fraccionarios tengan igual denominador que tienen común denominador.
Reducir dos o más números fraccionarios a común denominador, es transformarlos en otros equivalentes que tengan el mismo denominador.
CONJUNTOS NUMÉRICOS - CONCEPTUALIZACIÓN
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3 
3 − 5 
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2 
2 : 6 
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2 
2 : 6 
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
Los números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es 
, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, 
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por 
.
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde :
b es un número real
i es la unidad imaginaria: 
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
Números complejos
Un número complejo en forma binómica es a + bi.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de los números complejos se designa por 
.
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